-
Методи проекціювання та основні їх властивості
В основу методу нарисної геометрії покладений метод проекцій, який дозволяє отримувати відображення просторових фігур на площині або поверхні. Згідно з цим методом кожній точці тривимірного простору ставиться у відповідність точка двовимірного простору (площини) (рис.1.1).
Рис. 1.1
Рис. 1.2
Точка S називається центром проекціювання, напрямок SA – проекціюючим променем, площина Пi – площиною проекцій і точка Аi – проекцією точки А на площину проекцій Пі.
Метод проекцій включає два випадки: центральне та паралельне проекціювання.
При центральному проекціюванні проекціюючі промені (рис.1.2) виходять з однієї точки – центра проекціювання S, який знаходиться на визначеній (заданій) відстані. Для побудови центральної проекції mi кривої лінії m необхідно вибрати на цій лінії деяку кількість точок, побудувати їх проекції і з'єднати відповідною лінією (рис.1.2). При центральному проекціюванні кривої лінії проекціюючі промені утворюють в просторі конічну поверхню, тому цей вид проекціювання має іншу назву – конічне проекціювання.Центральне проекціювання – найбільш загальний випадок проекціювання геометричних образів на площину. Основними і незмінними його властивостями (інваріантами) є наступні:
– проекцією точки є точка;
– проекцією прямої є пряма (в частковому випадку – точка);
– якщо точка належить прямій, то проекція цієї точки належить проекції прямої.
Однією з особливостей центрального проекціювання є його достатня наочність, оскільки воно відповідає природному зоровому сприйняттю людиною навколишніх предметів, і тому найбільш широке застосування цей вид проекціювання одержав при виконанні перспективних зображень в архітектурі.
Основний його недолік – складність у визначенні дійсних розмірів предмета за його зображенням.
Паралельне проекціювання можна розглядати як частковий випадок центрального, коли центр проекціювання S знаходиться в нескінченності. При цьому проекціюючі промені паралельні між собою (рис.1.3), і тому інша назва цього виду проекціювання – циліндричне проекціювання. Апарат паралельного проекціювання включає в себе площину проекцій Пi та напрямок проекціювання s, який задається кутом f нахилу проекціюючого променя до площини проекцій. Залежно від значення кута f паралельне проекціювання може бути косокутнім (f <> 90°) або прямокутнім (f = 90°).
Рис. 1.3
Основні властивості паралельного проекціювання:
1. Проекцією точки є точка.
2. Проекцією прямої є пряма (в частковому випадку - точка).
3. Якщо точка належить прямій, то і проекція точки належить проекції прямої.
4. Якщо прямі паралельні, то і їх проекції паралельні між собою.
5. Відношення відрізків прямої дорівнює відношенню проекцій цих відрізків.
6. Відношення відрізків паралель-них прямих дорівнює відношенню проекцій цих відрізків.
7. Проекція геометричної фігури не змінює своєї величини і форми при паралельному переміщенні площини проекцій.
8. Точка перетину проекцій прямих, що перетинаються, є проекцією точки перетину цих прямих.
Прямокутне (або ортогональне) проекціювання, окрім наведених вище, характеризується ще такими властивостями:
1. Проекція відрізка не може бути більшою за сам відрізок.
Частковий випадок. Якщо відрізок паралельний площині проекцій, то він проекціюється на неї в натуральну величину.
Розглянуті методи проекціювання на одну площину проекцій дають можливість розв'язувати пряму задачу: маючи предмет, знайти його проекцію, але не дозволяють розв'язати обернену задачу: маючи проекцію, визначити форму і розміри предмета. Наприклад, маючи проекцію Ai (рис.1.1), не можна визначити положення самої точки A в просторі, оскільки невідома її відстань від площини проекцій Пi.
Наявність лише однієї проекції створює невизначеність зображення. Такі зображення повинні містити додаткові дані, щоб по них можна було визначити оригінал.
Прямокутні проекції знайшли найбільш широке застосування при виконанні технічних креслеників, тому що в цьому випадку забезпечується простота графічних побудов і висока точність вимірів. Основний недолік цього методу – недостатня наочність зображення: для того щоб “побачити” (уявити) предмет, необхідно подумки поєднати його наявні “плоскі” зображення.
Метод прямокутних проекцій ґрунтується на тому, що предмет за допомогою ортогонального (прямокутного) проекціювання одночасно зображають на декількох взаємно перпендикулярних площинах проекцій, приєднаних до просторової прямокутної системи координат.
Розглянемо дві взаємно-перпендикулярні площини, які ділять простір на 4 частини, що називаються чвертями або квадрантами (рис.1.4). Така модель називається двохплощинною. Відповідно площина П1 називається горизонтальною площиною проекцій, а П2 - фронтальною площиною проекцій.
Рис. 1.4
При двох напрямах проекціювання, що прийняті в системі прямокутних проекцій, довільна точка А зображується парою точок ( А1 – горизонтальна проекція, А2 – фронтальна проекція). Неважко помітити, що точка простору віддалена від площин проекцій П1 та П2 на відстань від осі відповідно до її фронтальної та горизонтальної проекцій. Кресленик, що містить проекції на двох полях проекцій, позиційно повний та метрично визначений.
Однак, завдяки тривимірності просторової фігури, а також у зв’язку з тим, що по двох зображеннях не завжди просто визначити конструкцію складного об’єкта, його комплексний кресленик стає зрозумілішим, коли окрім двох основних проекцій дано ще проекцію на третю площину. В ролі третьої площини (поля проекцій) найчастіше вибирають профільну площину проекцій П3, перпендикулярну до П1 та П2 (рис.1.5), тому третя проекція точки А3 називається профільною. Така модель називається трьохплощинною.Запитання для самоперевірки
- Методи проекціювання. Основні властивості центрального та паралельного проекціювання.
- Система ортогональних (прямокутних) проекцій. Комплексний кресленик (епюр) Монжа.
- Точка в системі двох і трьох площин проекцій. Октанти простору.
- Способи побудови третьої проекції точки за двома заданими.
.
